Кириллица на Руси получила распространение вскоре после ее введения у балканских славян. На этой азбуке основывалась и древнерусская (славянская) нумерация, применявшаяся без существенных изменений вплоть до XVII в. Буквы кириллицы служили одновременно и числовыми знаками. Чтобы выделить их из букв, над числами ставился особый значок "~" - титло: иногда над каждой цифрой, иногда над первой или же над всем числом; в некоторых рукописях числа выделялись с обеих сторон точками.
Прообразом славянской нумерации служила ионийская алфавитная система счисления, которой пользовались вслед за древними греками византийцы.
Древнерусская система счисления это алфавитная, десятичная, непозиционная, с традиционной, слева направо, формой записи.
Числа в этой нумерации обозначались по порядку (с некоторыми несущественными исключениями) славянскими буквами: вначале 9 единиц, затем 9 десятков и 9 сотен. Таким образом, основными 27 цифрами можно было выразить числа от 1 до 999:

Система записи больших чисел. При помощи вспомогательных символов в славянской нумерации можно записывать очень большие числа. Внизу слева у соответствующей буквы алфавита ставился знак тысяч в виде перечеркнутой черточки, например,

При помощи цифр и этого знака можно было непосредственно обозначить все целые числа до одного миллиона включительно. Причем, знак тысяч ставился при каждой цифре, обозначающей то или иное их количество, так как его пропуск мог повлечь изменение числового значения записи. Например:

Обозначений для дробей в славянской нумерации не было вовсе, их записывали словами.

Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге полное наименование которой звучало как «Кирика диакона и доместика Новгородскаго Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет», содержались сведения как по математике, так и по астрономии, в числе прочего там приводился подробный расчет даты сотворения мира (тогда считалось, что мир был сотворен Богом за 5508 лет до начала христианской эры). Монах также делил сутки на мелкие доли, применяя деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.
Рукопись Кирика очень важна. Она ясно показывает, что славяне без малого тысячу лет назад отлично владели четырьмя действиями арифметики, свободно обращались с очень большими целыми числами и с очень маленькими дробями.
Что усвоение всего этого представляло большие трудности, доказывает хотя бы то, что в немецком языке есть поговорка: «Попал в дроби». Так говорят про человека, который оказался в трудном положении, или, по-нашему, «попал в переплёт».
Ещё в XVIII веке в одном английском учебнике арифметики было написано, что дроби приводят учащихся в уныние и к мысли: «В эти дебри мы не пойдём!». Выходит, что в это время на Руси математика не только не отставала, но, пожалуй, шла даже немного впереди науки народов Западной Европы.
В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Для ясного понимания этого деления следует хорошо себе представить структуру древнерусских дробей. В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».

Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Одна треть числа — словом «треть».
Одна четверть — словом «четь» или «четверть».
Одна шестая — «пол-трети».
Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».
Одна двенадцатая — «пол-пол-трети».
Одна шестнадцатая — «пол-пол-чети».
Одна двадцать четвёртая — «пол-пол-пол-трети».
Одна тридцать вторая — «пол-пол-пол-чети» и т. д.
Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).

Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.

Татаро-монгольское нашествие, начавшееся в XIII столетии, а также конфликты православной церкви с католической существенно затормозили развитие наук на Руси: русская культура оказалась изолирована от западной. В одной из церковных директив того времени даже говорилось: «Богомерзостен перед Богом всякий, кто любит геометрию; а се душевные грехи учиться астрономии и эллинским книгам; по своему разуму верующий легко впадает в различные заблуждения».
Это вылилось в то, что математика стала играть в основном прикладную роль для разных хозяйственных нужд.
Но в XVI—XVII века в силу развития экономики и военных наук потребовалось повышение уровня математических знаний. В Москву стали прибывать специалисты из-за границы, на русский язык переводились западные учебники по математическим дисциплинам, включая арифметику и геометрию. Выходили и математические сочинения отечественных авторов.
Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз из Лондона морских офицеров. Одним из офицеров был Фергарсон, который, как полагают, ввёл в России арабские цифры. Но на самом деле они пришли в Россию задолго до Петра, в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений — арабская.
Надо сказать, распространение новой нумерации происходило постепенно: в начале XVII в. ею владел сравнительно узкий круг знатоков математики. Детей сначала обучали славянской нумерации (параллельно с обучением чтению и письму), после чего с ее помощью вводилась современная нумерация. Так же постепенно новая нумерация вводилась и в книгопечатание, официальную документацию, чеканку монет: на протяжении XVII в. старославянская нумерация заменялась современной индо-арабской

В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания «Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи», которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию.
Параллельно с написанием чисел в новой нумерации арифметические рукописи знакомили с произношением чисел, причем употреблялась старославянская терминология - счет тьмами, легионами, леодрами, как в “малом числе”, так и в “большом”. Термины “миллион, биллион, триллион” и т.п. введены в начале XVIII в. Л.Ф.Магницким в его “Арифметике”.
В 1701 году Петр I издал указ об учреждении Школы математических и навигацких наук. Ведущим преподавателем заведения стал Леонтий Филлипович Магницкий, по поручению императора написавший в 1703 году учебник «Арифметика, или наука числительная». Впоследствии по нему обучались несколько поколений россиян. В нем содержались сведения не только по арифметике, но и алгебре, геометрии, тригонометрии, а также астрономии, навигации и метеорологии.

В «Арифметике» Магницкого, вслед за остальной Европой, используется счёт по числу пальцев на руках: числа от 1 до 9 названы «перстами», нуль — «низачто», десятки — «составами», а остальные числа — «сочинениями».

Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице рубля, или рубля, или рубля, или две пятые части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число». Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.
Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби.
Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но в то же время в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей, и учителя в стихах и прозе старались приободрить своих учеников. Л.Магницкий писал:

Но несть той арифметик,

Ижо в целых ответчик,

А в долях сий ничтоже,

Отвещати возможе.

емже о ты радеяй,

Буди в частях умеяй.

Предки русского народа — славяне — с незапамятных времён жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том; что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В X веке нашего летосчисления у славян появилась письменность. С этого времени начинается «писаная» история Древней Руси.
У славян, как и у всех других народов, первым учителем математики была жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счёта, правила измерения: ведь без этого нельзя было бы ни торговать, ни даже обмениваться продуктами.
В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица — рубль, название которой сохранилось до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола «рубить». Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками металла, которые отрубали от полосы серебра или меди. Для того чтобы разрубить металлическую полосу на равные части, нужно было знать простейшие дроби, уметь складывать и вычитать числа. При измерении полей славяне употребляли и более сложные дроби.
В XVI веке при Иване Грозном на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже — печатные книги о применении математики для разных практических нужд, например «Книге сошного письма» и «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки».
Со́шное письмо — на Руси XV—XVII веков описание земельных владений на селе и в городах Русского государства, кадастровая система. Единицей податного обложения которой на Руси с XIII века по XVII век служила соха: проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей.
Лица, проводившие замеры земельных владений в сельской местности и дворов по городам, имели с собой инструкции — «книги сошного письма», имевшие описание русских поземельных мер и дававшие указания по их применению при замере пашни, а также исчислению окладных единиц (сох и вытей) с учётом качества земли (добрая, средняя или худая) и категории землевладения (земля служилая, церковная или чёрная).
Возникновение Книг сошного письма связано с податной реформой середины 16 в. Сошное письмо выросло на земледельческой почве, но стремление московской финансовой политики ввести однообразие в податную систему привело к податной реформе середины XVI века и к тому, что единица измерения, соха, была приноровлена и к потребностям городского обложения.

Это было тем удобнее сделать, что соха с самого начала была не земельной мерой, а финансовой единицей, выражавшей определённых размеров капитал, с которого московское правительство брало часть процентов в виде подати.

Древнейшая опубликованная Книга сошного письма датируется 1629 и содержит сведения о мерах земельных площадей, руководства по их измерению и исчислению окладных единиц (сох и вытей) с учетом качества земли («добрая», «средняя», «худая») и категории землевладения.
Рукопись «Роспись сошному письму, как которая кость с которой костью кладется» содержит указания по измерению пашни и представляла собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Это 21 правило, которое использовали землемеры в своей работе.

Переведем эти правила на современный язык математики и выясним, были ли древними авторами допущены ошибки в вычислениях.

Таким образом, было установлено, что древними авторами рукописи «Роспись сошному письму, как которая кость с которой костью кладется» были допущены ошибки в трех правилах: № 4, №7, № 15. Попробуем исправить эти ошибки на языке оригинала.

В арифметических рукописях обычно кратко рассматриваются два способа инструментального счета - “счет костьми” и “дощаной счет”. Им уделено неодинаковое внимание: “Обширная глава “о счете костьми” во всех списках состоит из наставления, как подготовить для счета стол, и из отдельных “статей” о 4 действиях и их проверке. Раздел “о дощаном счете” короче: в нем говорится только, как сделать прибор, и дается самая общая оценка его”. Обе системы инструментального счета в течение некоторого времени сосуществовали и даже были взаимосвязаны: многие функции дощаного счета, равно как и используемая терминология, были прямо заимствованы из счета костьми. Тем не менее, дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, имевшим многовековое употребление и оставившим значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.

Счет костьми. В арифметических рукописях изложению действий с костьми предшествует описание изготовления счетной таблицы.
“Возьми перед себя стол или доску, на чем тебе пригодитца великий счет считати. И прочерти черту мелом к себе концом, да поперек 6 черт или 7, или боле, каков счет хошь считать[т.е. в зависимости от величины подлежащих счислению чисел] и снизу от себя отчерти 3 черты простых, а на четвертой черте на споях накресть перечерти для памяти [т.е. пометь косым крестом пересечения вертикальных линий с 4-й, 7-й и т.д. горизонтальными] и буди ти ведомо первый крест туто кладутца 1000, а на другом кресту кладутца 1000000, а впредь так же. А кости клади по чертам или пиняги [т.е. кости или жетоны будешь раскладывать на горизонтальных линиях]. На нижней черте кладетца всякая кость за 1 до 4 костей, а придется положити 5, и ты положи 1 кость выше первые черты под другую меж чертами. Ту 1 кость держит 5 [т.е. на нижней горизонтальной линии каждая кость соответствует единице. На ней откладываются числа от 1 до 4. Пятерки откладываются тоже одной костью, но над первой горизонтальной линией в шпации], а на другой черте всякая кость держит по 10, а пригодитца положити 50 и ты положи 1 кость выше другие черты под третею меж чертами. А впредь також клади. С черты на черту вверх ступай вдесятеро, а промеж чертами впятеро наполовину”.
Дощаный счет. Статья о дощаном счете имеется практически во всех рукописях, причем изложение сопровождается изменяющимися чертежами, которые представляют значительный интерес, в частности тем, что характеризуют процесс изменения конструкции русских счетов.
Наиболее сложные и, по-видимому, наиболее старые по типу - счеты с 4 полями, которые исследователи относят к самобытным отечественным счетным инструментам. Они специально приспособлены к нуждам “сошной арифметики”: поземельный налог взимался в зависимости от количества, качества и даже социального положения владельца земли, которую переводили в условные единицы - сохи. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”.
В каждом из 4 полей было протянуто по 14 параллельных веревок или проволок. Если проволоки предназначались для счета целых чисел, то на них нанизывалось по 9 (иногда 10) костяшек; на других - меньшее количество. В одном из полей имелась проволока с 4 и 3 проволоки с 1 костью каждая. С их помощью велся счет четвертям, полчетвертям, пол-полчетвертям. Там, где имелась проволока с 3 костями, счет велся третями, полтретями и т.д.
Русские же счеты не исчезли вместе с сошным письмом. Напротив, в XVII в. они прочно вошли в житейский обиход. В исторической литературе имеются свидетельства об их широком распространении на Руси: “Все русские, вплоть до беднейших крестьян, очень опытны в счетном искусстве. Они пользуются для этого счетной доской <...>, она настолько общеупотребительна, что ее можно встретить даже соединенной со всякого рода карманными зеркальцами, досками для письма или календарями”.