ДРОБИ ДРЕВНЕГО МИРА
Древний Египет
История возникновения и развития понятия «аликвотные» дроби.
Аликвота - (лат. aliquoties, «несколько раз или несколько частей»)
Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:
1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары
В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями. успехов. Помните: проигравших здесь нет!
В математике понятие «египетская дробь» — это дробь которую можно представить в виде суммы аликвотных дробей имеющих числитель равный единице, и знаменатель представляющий собой натуральное число.
Например:
3/4 = 1/2+1/4,
2/11 = 1/6+1/66,
2/7 = 1/6+1/14+1/21,
43/48 = ½ +1/3 +1/16
Для записи дробей египтяне ставили иероглиф
Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:
1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары
В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями. успехов. Помните: проигравших здесь нет!
В математике понятие «египетская дробь» — это дробь которую можно представить в виде суммы аликвотных дробей имеющих числитель равный единице, и знаменатель представляющий собой натуральное число.
Например:
3/4 = 1/2+1/4,
2/11 = 1/6+1/66,
2/7 = 1/6+1/14+1/21,
43/48 = ½ +1/3 +1/16
Для записи дробей египтяне ставили иероглиф
(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6).
Он представлял собой дробь 63/64.
Так как, согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64. Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64
Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна , хлеба и пива.
Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.
Так как, согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64. Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64
Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна , хлеба и пива.
Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.
Это древнеегипетское учебное пособие по арифметике и геометрии периода 12 династии Среднего царства, переписанное в 33 году правления царя Апопи писцом по имени Ахмес на свитке папируса.
Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой дроби от 2/5 до 2/99 записанную в виде сумм долей, т.е. в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот. Эти таблицы египтяне заучивали наизусть, как мы сейчас таблицу умножения.
Действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.
Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой дроби от 2/5 до 2/99 записанную в виде сумм долей, т.е. в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот. Эти таблицы египтяне заучивали наизусть, как мы сейчас таблицу умножения.
Действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.
Современные методы разложения дроби в виде суммы аликвотных дробей
В современных обозначениях не составляет труда решить задачу на разложение аликвотной дроби в виде суммы аликвотных дробей. Для этого можно использовать следующее тождество:
Применяя это тождество, мы будем раскладывать данную аликвотную дробь в сумму других аликвотных дробей, но уже с большими знаменателями. Тем самым мы будем избегать повторяющихся дробей в разложении.
Фибоначчи предложил другой метод построения египетской дроби (суммы различных аликвотных дробей) для данной обыкновенной дроби
Фибоначчи предложил другой метод построения египетской дроби (суммы различных аликвотных дробей) для данной обыкновенной дроби
Алгоритм Фибоначчи эффективнее показанного ранее метода, однако и он в некоторых случаях дает неоптимальные разложения.
Современные методы позволяют раскладывать дробь в сумму различных аликвотных довольно эффективно. Например, М. Воуз в 1985 году построил алгоритм, раскладывающий дробь kn
в сумму не более чем C√log2n аликвотных (здесь C — константа, не зависящая от k и n).
Современные методы позволяют раскладывать дробь в сумму различных аликвотных довольно эффективно. Например, М. Воуз в 1985 году построил алгоритм, раскладывающий дробь kn
в сумму не более чем C√log2n аликвотных (здесь C — константа, не зависящая от k и n).
Примеры разложения обыкновенных дробей в виде суммы аликвотных дробей.
Древний Вавилон
История возникновения шестидесятеричной системы счисления.
Существует несколько гипотез происхождения шестидесятеричной системы исчисления в Вавилоне.
По одной теории это связано с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5 *12, где 5 -- число пальцев на руке).
Существует также гипотеза О. Нейгебауэра о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель.
Я считаю, что вторая версия более правдоподобна, так как она связана с жизнью и бытом жителей Вавилона.
Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с. Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями.
По одной теории это связано с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5 *12, где 5 -- число пальцев на руке).
Существует также гипотеза О. Нейгебауэра о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель.
Я считаю, что вторая версия более правдоподобна, так как она связана с жизнью и бытом жителей Вавилона.
Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с. Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями.
Вавилонские глиняные клинописные таблички.
Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.
Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина, обозначавшего единицу, и условного знака, обозначавшего десять.
Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина, обозначавшего единицу, и условного знака, обозначавшего десять.
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой).
В 1922 году филантроп Джордж Артур Плимптон выкупил у антиквара Эдгара Джеймса Бэнкса вавилонскую глиняную табличку с клинописью, датированную примерно 1800 годом до н. э. Сейчас табличка, получившая название Plimpton 322, хранится в коллекции Колумбийского университета.
Несколько тысяч из них, в том числе и Plimpton 322, носили математический характер. На этой табличке была изображена таблица из четырех столбцов и пятнадцати строк чисел.
Как выяснилось в 1940-х годах, табличка содержала пифагоровы числа — решения теоремы Пифагора (сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы). О том, что они могли значить, существовало несколько версий — в частности, предполагалось, что с ее помощью дети учились основам математики.
Однако математики из Университета Нового Южного Уэльса в Австралии решили поставить точку в этом вопросе. Согласно их последнему исследованию, опубликованному в журнале Historia Mathematica, это была тригонометрическая таблица.
Возможно, древние архитекторы использовали ее для расчетов при проектировании храмов, дворцов и каналов.
Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Несколько тысяч из них, в том числе и Plimpton 322, носили математический характер. На этой табличке была изображена таблица из четырех столбцов и пятнадцати строк чисел.
Как выяснилось в 1940-х годах, табличка содержала пифагоровы числа — решения теоремы Пифагора (сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы). О том, что они могли значить, существовало несколько версий — в частности, предполагалось, что с ее помощью дети учились основам математики.
Однако математики из Университета Нового Южного Уэльса в Австралии решили поставить точку в этом вопросе. Согласно их последнему исследованию, опубликованному в журнале Historia Mathematica, это была тригонометрическая таблица.
Возможно, древние архитекторы использовали ее для расчетов при проектировании храмов, дворцов и каналов.
Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Древний Рим
Происхождение римской системы дробей
Священная римская империя Римская система дробей была связана с мерой веса, называемой «асс», эта единица служила и денежной единицей. Она делилась на 12 долей. 1/12 асса называлась унцией, записывалась как точка — «•».Две унции, как видно выше, могут быть записаны «••», так и «:». Три унции — «•••» или «∴».
Дроби, в основном, выражались в «унциях» (одна двенадцатая,) и «половинах» (записывается как буква «S»).
Со временем унции стали применять для измерения любых величин. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.
Для обозначения дробей существовало 18 названий. Приведем некоторые из них:
семис — половина асса;
секстанте — шестая доля асса;
семиунция — пол-унции или 1/24 асса.
Дроби, в основном, выражались в «унциях» (одна двенадцатая,) и «половинах» (записывается как буква «S»).
Со временем унции стали применять для измерения любых величин. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.
Для обозначения дробей существовало 18 названий. Приведем некоторые из них:
семис — половина асса;
секстанте — шестая доля асса;
семиунция — пол-унции или 1/24 асса.
Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.
Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.
Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.
Слова, используемые в современной речи и дошедшие к нам из римской системы дробей.
Скрупулёзно
А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Вопрос изучен скрупулезно ". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".
Взять с лихвой.
Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы".
Процент
Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум", то сотую часть и стали называть процентом.
Промилле
А раньше применяли еще и промилле - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилле обозначают ‰.
А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Вопрос изучен скрупулезно ". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".
Взять с лихвой.
Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы".
Процент
Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум", то сотую часть и стали называть процентом.
Промилле
А раньше применяли еще и промилле - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилле обозначают ‰.
Страна, в которой в системе мер и денежной системе используются остатки римской системы дробей.
В Англии и США используют меру измерения объема жидкости – унцию.
Американская унция = 29,57 мл
Английская унция = 28,41 мл
Кроме того в качестве единицы измерения веса драгоценных металлов используется
тройская унция = 31,1 гр
Американская унция = 29,57 мл
Английская унция = 28,41 мл
Кроме того в качестве единицы измерения веса драгоценных металлов используется
тройская унция = 31,1 гр
Какая же система дробей была наиболее развитой?
На мой взгляд наиболее развитой была Вавилонская система дробей.
Расчетная техника в Вавилоне была удобнее и совершеннее, чем в Египте. Математика в этой стране решала гораздо больший круг задач. Система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной. Такая система сохранилась в современном мире для обозначения времени и величин углов. Дроби также были шестидесятеричными. Вавилонская система не исчезла вместе с государством. Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций Дробями, написанными в 60-тиричной системе, пользовались античные и арабские астрономы и математики.
Расчетная техника в Вавилоне была удобнее и совершеннее, чем в Египте. Математика в этой стране решала гораздо больший круг задач. Система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной. Такая система сохранилась в современном мире для обозначения времени и величин углов. Дроби также были шестидесятеричными. Вавилонская система не исчезла вместе с государством. Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций Дробями, написанными в 60-тиричной системе, пользовались античные и арабские астрономы и математики.
